Ableitung der Umkehrfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

Im folgenden Artikel werden wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion in einem Punkt differenzierbar ist. Außerdem werden wir eine Formel herleiten, mit der wir die Ableitung der Umkehrfunktion explizit bestimmen können. Das praktische an dieser ist, dass wir damit die Ableitung an bestimmten Punkten bestimmen können, selbst wenn wir die Umkehrfunktion nicht explizit kennen.

Motivation[Bearbeiten]

Betrachten wir zunächst als Beispiel eine lineare Funktion. Für diese ist es sehr einfach, die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen. Nicht-konstante lineare Funktionen sind nämlich auf ganz bijektiv und damit umkehrbar. In diesem Fall können wir die Umkehrfunktion explizit berechnen und danach ableiten. Konkret wählen wir mit . Die Umkehrfunktion lautet

ist auf ganz differenzierbar und für alle .

Betrachten wir als nächstes die Funktion . Hier müssen wir zunächst aufpassen, da sie nicht auf ganz injektiv, und damit nicht umkehrbar ist. Schränken wir den Definitions- und Wertebereich jedoch auf ein, so ist bijektiv. Die Umkehrfunktion ist die Quadratwurzelfunktion

Bei der Differenzierbarkeit müssen wir eine weitere Sache beachten: ist in nicht differenzierbar. Dies können wir mit Hilfe des Differentialquotienten, oder auch durch die folgende Überlegung zeigen:

Da die Wurzelfunktion die Umkehrfunktion der Quadratfunktion ist, gilt . In null gilt damit insbesondere

Wäre nun in null differenzierbar, würde mit der Kettenregel

gelten. Also kann in null nicht differenzierbar sein. Auf ist hingegen differenzierbar, und es gilt

Dieses Beispiel zeigt also, dass es vorkommen kann, dass nicht auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, obwohl überall differenzierbar war. Konkret liegt das daran, dass ist, wie wir später sehen werden.

In den beiden Beispielen war es also relativ einfach die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen. Wie sieht es aber mit komplizierteren Funktionen, zum Beispiel als Umkehrfunktion von aus? Hier können wir nicht so einfach die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen. Oder was passiert, wenn sich eine bijektive Funktion gar nicht explizit umkehren lässt? Gibt es dann dennoch eine Möglichkeit die Ableitung der Umkehrfunktion zu bestimmen? In diesen Fällen wäre es natürlich gut, wenn wir eine allgemeine Formel hätten, mit der wir die Ableitung von aus der Ableitung von bestimmen könnten. Wenn wir uns die Ableitung aus dem zweiten Beispiel nochmal ansehen, dann fällt Folgendes auf:

Da für alle und für alle ist. Sehen wir uns das erste Beispiel nochmal an, so gilt dort ebenfalls

Die Frage ist nun, ob dies Zufall ist, oder ob diese Formel unter gewissen Voraussetzungen auch allgemein gilt? Setzen wir voraus, dass in und in differenzierbar ist, dann können wir uns die Formel allgemein herleiten. Dazu verwenden wir denselben Ansatz, den wir oben für die Nicht-Differenzierbarkeit der Quadratwurzelfunktion in null verwendet haben: Für alle gilt

Leiten wir nun auf beiden Seiten an der Stelle ab, so gilt nach der Kettenregel

Hierbei haben wir verwendet, dass in und in differenzierbar sind. Nun dividieren wir noch auf beiden Seiten durch (geht natürlich nur, wenn der Ausdruck ungleich null ist), und erhalten

beziehungsweise

Die Formel gilt also unter diesen Voraussetzungen auch allgemein. Die Frage ist nun noch, unter welchen Bedingungen an die Ableitung von sicher existiert.

• Zum einen muss die existieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn bijektiv ist, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn surjektiv und streng monoton ist.
• Wie wir oben gesehen haben muss im Punkt differenzierbar sein mit .
• Wir werden sehen, dass wir noch eine weitere Voraussetzung benötigen, nämlich dass in stetig ist. Ist der Definitionsbereich von ein Intervall, so ist dies nach dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion immer erfüllt.

Unter genau diesen Voraussetzungen werden wir einen Satz formulieren und beweisen. Anschließend untersuchen wir noch ein paar Beispiele.

Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion [Bearbeiten]

Satz und Beweis[Bearbeiten]

Merkregel und graphische Veranschaulichung zur Formel[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Leibnizschen Notation für die Ableitung lässt sich die Formel der Ableitung der Umkehrfunktion durch einen einfachen Bruchrechentrick veranschaulichen: Für und gilt

Auch graphisch können wir die Formel klar machen: Ist die Funktion im Punkt differenzierbar, so entspricht der Steigung der Tangente an dem Graphen in . Es gilt daher

Den Graphen der Umkehrfunktion erthalten wir nun in zwei Schritten:

1. Zunächst müssen wir den Graphen von um (im bzw. gegen den Uhrzeigersinn) drehen. Der daraus entstandene Graph hat im Punkt die Steigung , da die Tangente in diesem Punkt senkrecht auf der ursprünglichen Tangente steht.
2. Anschließend müssen wir den Graphen noch (horizontal bzw. vertikal) spiegeln. Dabei dreht sich das Vorzeichen der Tangentensteigung um.

Insgesamt erhalten wir

Umkehrung des Satzes und Erweiterung auf gesamten Definitionsbereich[Bearbeiten]

Es gilt auch die folgende Umkehrung des Satzes:

Fordern wir nun zusätzlich im ursprünglichen Satz, dass auf ganz differenzierbar ist mit . Dann können wir die Ableitungsfunktion von auf ganz bestimmen:

Beispiele[Bearbeiten]

Übungsaufgaben[Bearbeiten]